四、参考资料

（一）优化设计法

以优化理论为基础，以电子计算机为主要手段，在满足给定的约束条件的前提下，对系统总体和系统结构等进行优化的方法。优化设计的一般步骤是：

（1）对设计对象进行系统分析，建立反映设计变量与系统性能关系的数学模型。数学模型由设计变量、约束条件和目标函数构成。

（2）制定系统目标要求和建立评价指标体系，用于衡量和评价设计方案。

（3）根据数学模型选择优化计算方法，编制计算机程序或直接利用优化技术软件。

（4）对设计方案进行评估，通过人机反复交互，最后优选出设计方案。虽然优化技术的作用，在理论上是为了获得最优解，但在实际上，由于数学模型的建立本身是一种近似，复杂系统的某些变量或不确定因素难以准确地定量描述，目前尚缺乏一些求解复杂数学模型的有效算法，因此，优化过程更多地是从若干可行方案中选择一个“足够满意的方案”。目前优化设计法在航空、航天、船舶、机械、建筑等领域已得到广泛应用。

（二）优选法

在生产中，多快好省地完成任务，是我们预期的目标。例如在现有设备和原材料条件下，如何合理安排生产工艺，使产量最高、质量最好；或者在保证产品的产量和质量的前提下，使消耗最少。在工程设计中，如何选取合适的设计参数，使质量最好或者用料最省；在科学试验中如何安排试验，使费用最省或者效果最好等，这样一类广泛的试验问题，大致可概括为“为了使某些目标（如产量、质量或经济指标等）达到最好的结果（如高产、优质、低消耗等），就要找出使此目标达到最优的有关因素（或变量）的某些值（通常称为最优点、最优解或者近似最优解）。这类问题在数学上称为“最优化问题”。

优选法和其他科学一样，是在实践的基础上产生和发展的。像爬山法、均分法、来回调试法和平分法等这些安排科学试验的基本原则，早已应用，只是没有系统整理、提高为理论而已。

自从1953年美国的基弗（Kiefer）提出分数法和0.618法（也称为斐波纳法和黄金分割法）后，人们针对各种情况又提出不少的方法。

优选法的应用在我国是从1970年开始的，首先由华罗庚等推广并大量应用。华罗庚等推广的主要方法是0.618法，下面就介绍这种方法。

0.618法的做法是：第一个试验点x₁设在试验范围（a，b）的0.618位置上，第二个试验点x₂取成x₁的对称点，即

x₁＝a＋0.618×（b- a）      (3.1)

x₂=a+b- x₁                  (3.2)

如果称a为试验范围的小头，b为试验范围的大头，公式（3.1）和公式（3.2）可以通俗地写成

第一点＝小＋0.618×（大-小），       （3.1）′

第二点＝大＋小-第一点。             （3.2）′

公式（3.2）和（3.2）′叫作对称公式。

用f（x₁）和f（x₂）分别表示在x₁和x₂上的试验结果。如果f（x₁）比f（x₂）好，x₁是好点，于是把试验范围（a, x₂）划去，剩下（x₂，b）。如果f（x₁）比f（x₂）差，x₂是好点，这就应当划去（x₁, b）而保留（a, x₁,）。下一步是在余下的范围中找好点。在前一种情形，x₁,的对称点为x₃，在x₃安排第三次试验，用对称公式计算有

x₃＝x₂+b- x₁

在后一种情形，第三个试验点x₃应是好点x₂的对称点，也就是

x₃＝a+ x₁- x₂。

如果f（x₁）和f（x₂）一样，则应具体分析，看最优点可能在哪一边，再决定取舍。在一般情况下，可以同时划掉（a, x₂）和（x₁, b），仅留中间的（x₂, x₁）。然后把x₂看成新的a，把x₁看成新的b，在范围（x₂, x₁）中再用公式（3.1）和公式（3.2）重新安排两次试验。

无论出现上述三种情况的哪一种，在新的试验范围内，又有两次试验可以比较。根据试验结果，再去掉一段或两段试验范围，在留下的试验范围中再找好点的对称点，安排新的试验。

这个过程重复进行，直到找出满意的试验点，得出比较好的结果；或者留下的试验范围已很小，再做下去，试验结果差别不大，亦可就此中止。

顺便提一下，公式（3.2）和公式（3.2）′还可以用折纸的办法求得。即按试验范围的大小截取一段纸条，第一个试验点x₁的位置也按比例标上去，然后把纸条对折，和x₁重合的点就是x₂。根据原来标好的读数，x₂的数值一望便知。在留下的试验范围内，再用对折法找出与上次试验的好点重合点，就是新的试验点。

案例3——松香胶料加碱量的优选

松香胶料可以增加纸张的抗水性。某造纸厂由于原料松香成分变化，熬制时加碱量掌握不好，游离松香含量一度仅在6.2%左右。他们用优选法进行试验，固定松香投料量100kg，熬制温度102～106℃，加水100kg，加碱范围定为9～13kg。试验加碱量x与效果如下：

x₁=9+0.618×（13～9）≈11.5kg，熬制时间5.5h，游离松香含量20.1%；

x₂=9+13-11.5=10.5kg，熬制时间6.5h，游离松香含量18.8%。

比较x₁、x₂的效果，x₁好，划去10.5kg以下的试验范围，继续试验：

x₃=10.5+13-11.5=12kg，熬制时间6h，且有皂化，划去12kg以上的试验范围；

x₄=10.5+12-11.5=11kg，熬制时间6h，游离松香含量19%。

试验到此为止，x₁=11.5kg为最优点。

几个试验结果写在直线段上就是（图略）。

五、教学准备

小煮锅、煮蛋器、电源导线、鸡蛋。

——完——