二、系统优化

我们做任何事情都希望达到最优的效果，以最低的成本获得最大的效益。但是，系统问题是复杂的、多变的，需要我们不断地研究系统的内部规律、外部环境（条件）、功能实现等情况，不断完善、不断改进、不断优化。

（一）什么是系统优化

系统优化是系统设计的必要步骤。所谓系统优化，就是为了实现系统的目的，组织和调节活动，使系统在一定环境下形成最佳结构并发挥最好功能的过程。

实践与体验

码头选址

如图3.20所示，在江边同侧有A、B两个工厂，它们到江边的距离AD、BE分别是3km和2km。设两厂沿江的距离ED是5km，现在要在江边修建一个码头F，使得两厂的产品能够顺利过江。试分析：码头应建在什么位置才能使运输路线最短？

图3.20 工厂、码头位置示意图

（二） 系统优化的步骤

系统优化一般可分为以下几个步骤：

（1）提出需要进行最优化的问题，收集有关资料和数据。

（2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变量，列出有关约束条件，分析模型。

（3）选择合适的最优化方法。

（4）求解方程。

（5）最优解的验证和实施。

在实际工作中，系统优化是一个比较复杂的问题，数学是不可缺少的重要工具。系统优化是与建立数学模型、确定系统的目标函数和约束条件分不开的。系统优化的主要工作就是寻求系统目标函数在给定约束条件下的最优值。换句话说，就是通过数学模型求解来达到系统最优化的目的。因此，研究系统最优化，要从分析目标函数和约束条件着手。

阅读材料

系统工程

系统工程是运用系统科学的观点和方法，研究、设计运转复杂系统的一门综合性工程技术。其特点是强调系统的整体性和综合性。它应用自然科学和社会科学中有关的思想、理论，采用定性分析和定量研究相结合的方法，对系统结构进行分析，以达到最优规划、最优设计、最优管理和最优控制的目的。系统工程在我国比较系统地、有组织地研究和运用始于20世纪60年代。中国科学院在钱学森教授的倡导下，建立了第一个运筹学小组；著名数学家华罗庚大力推广统筹法、优选法。

1977年以来，系统工程的推广和应用出现了新局面。1980年中国系统工程学会成立，开始与国际系统工程界有了广泛的学术交流。目前，系统工程已在不同领域得到广泛应用，形成了军事系统工程、工业系统工程、农业系统工程等分支。

（三）系统优化案例

案例分析

田忌赛马

齐王常与大臣们赛马，三马对三马，三场比赛胜两场即为胜者，每一次输者付给赢者千金。有一次，齐王与大臣田忌赛马，各出上（一等）、中（二等）、下（三等）三匹马，齐王的三匹马比田忌的三匹马好一些，但是差异也不是很大。第一次比赛，田忌输了。第二次比赛，孙膑给田忌出了个主意，用田忌的三等马、一等马、二等马对齐王的一等马、二等马、三等马，结果一负两胜，赢了齐王，如图3.21所示。

田忌      齐王      田忌      齐王

上（败）  →  上     上（胜）   →中 

中（败）  →  中     中（胜）   →下

下（败）  →  下     下（败）   →上

图3.21 齐王与田忌赛马出场图

在上述故事中，实际上远远不止两种方案，六匹马可以组成36种方案。

齐王的三匹马有6种组合:

A₁（1，2，3）、A₂（1，3，2）、A₃（2，1，3）、A₄（2，3，1）、A₅（3，2，1）、A₆（3，1，2）。

田忌的三匹马也有6种组合:

B₁（1，2，3）、B₂（1，3，2）、B₃（2，1，3）、B₄（2，3，1）、B₅（3，2，1）、B₆（3，1，2）。

齐王的组合方案与田忌的组合方案相比，齐王可能获胜次数见表3.5。

表3.5 齐王赛马可能获胜次数

讨论：用系统的思想分析田忌取胜的原因，你从中得到了哪些启示？

实践与体验

摩天轮模型系统的优化

在摩天轮模型（图3.22）系统的设计活动中，A组同学设计的摩天轮模型，经过小组自评以及老师和同学的评价后，发现其在使用一组齿数分别为30和15的齿轮传动后，摩天轮每分钟旋转2圈，没有达到缓慢转动的设计要求。

【优化要求】

1．帮助A组同学对摩天轮模型系统进行优化，使得摩天轮模型每分钟旋转小于1/4圈。

2．A组同学只有齿数分别为15和30的齿轮（图3.23）。

图3.22 摩天轮模型图　　　3.23 齿轮图

【优化过程】

任务一：明确问题，搜集资料和数据

本问题中，优化目标是降低摩天轮转速，约束条件是齿轮齿数。请同学们搜集有关齿轮传动的知识，了解主动轮、从动轮、转速、齿数、传动比。

传动比i=主动轮转速n₁/从动轮齿数Z₂=从动轮转速n₂/主动轮齿数Z₁

摩天轮目前转速为每分钟转2圈，转速n₁为720°/min；期望的转速为每分钟转1/4圈，转速n₂为90°/min。我们需要使用齿数为15(Z₁)和30(Z₂)的齿轮组完成传动。

任务二：建立传动比的数学模型

优化目标：i= n₁/ n2=720°/min /90°/min=8

约束条件：从动轮齿数/主动轮齿数=30/15=2

任务三：选择最优化方法

A组同学没有传动比为8的齿轮组，因此需使用多组传动比为2的齿轮组叠加的方法进行优化。

任务四：计算求解

请同学们计算需要叠加几组齿数分别为30和15的齿轮。

任务五：验证与实施

请同学们验证这种方式的可行性。

案例分析

优化制度和方法——三个和尚

我们小时候都听过三个和尚没水喝的故事。如今情况不同了，每座庙里水多得喝不完。

第一座庙：三个小和尚商量后把路分成三段，三个人接力挑水，水缸就满了。

第二座庙：老和尚给三个小和尚制定新的规矩，谁挑的水最多，晚上加一道菜；谁挑的水最少，菜减半甚至吃白饭，直到逐出寺庙。于是，三个小和尚你追我赶，一会儿把水缸挑满了。

第三座庙：三个小和尚商量，山上的竹子很多，咱们干吗挑水呢！砍一些竹子，打通它，连成一个输水管，河边装一个轱辘。第一个和尚摇轱辘，水上去了；第二个和尚站在高处，把水桶里的水往漏斗里一倒，灌入水槽；第三个和尚在庙里接水，把水缸装满。三个小和尚分工不同，三天一轮换。

讨论：请从系统优化角度，分析三座庙里小和尚的做法。